Question

11．在直角坐标系xOy中，圆C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos{φ}_{1}}\\{y=\sqrt{3}sin{φ}_{1}}\end{array}\right.$（φ₁是参数），圆C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{2}}\\{y=1+sin{φ}_{2}}\end{array}\right.$（φ₂是参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求圆C₁，圆C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）射线θ=α（ 0≤α＜2π）同时与圆C₁交于O，M两点，与圆C₂交于O，N两点，求|OM|+|ON|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数基本关系式的平方关系可把圆的参数方程化为普通方程，再利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．
（Ⅱ）θ=α时，极坐标$M（2\sqrt{3}cosα，α）$，N（2sinα，α），利用和差公式及其三角函数的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由圆C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos{φ}_{1}}\\{y=\sqrt{3}sin{φ}_{1}}\end{array}\right.$（φ₁是参数），圆C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cos{φ}_{2}}\\{y=1+sin{φ}_{2}}\end{array}\right.$（φ₂是参数），
可得：圆${C_1}：{（x-\sqrt{3}）^2}+{y^2}=3$，圆${C_2}：{x^2}+{（y-1）^2}=1$．
分别可得极坐标方程：圆${C_1}：ρ=2\sqrt{3}cosθ$，圆C₂：ρ=2sinθ．
（Ⅱ）θ=α时，极坐标$M（2\sqrt{3}cosα，α）$，N（2sinα，α）．
∴$|{OM}|+|{ON}|=2\sqrt{3}cosα+2sinα$=$4sin（α+\frac{π}{3}）$，
∵$\frac{π}{3}≤α+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$，∴当$α+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}，α=\frac{π}{6}$时，|OM|+|ON|取得最大值为4．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长、和差公式、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．