Question

15．设数列{a_n}的前n项和是S_n，S_n+a_n=$\frac{1}{2}$（n²+5n+2）（n∈N）．
（1）求a₁的值，并用n和a_n表示a_n+1；
（2）猜想数列{a_n}的一个通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由S_n+a_n=$\frac{1}{2}$（n²+5n+2）（n∈N）．利用递推关系即可得出${a}_{n+1}=\frac{1}{2}（{a}_{n}+n+3）$．
（2）利用（1）可得a₁=2，a₂=3，a₃=4，…，猜想a_n=n+1．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）由S_n+a_n=$\frac{1}{2}$（n²+5n+2）（n∈N）．令n=1，可得2a₁=$\frac{1}{2}×8$，解得a₁=2．
当n≥2时，S_n+1+a_n+1=$\frac{1}{2}[（n+1）^{2}+5（n+1）+2]$，
∴2a_n+1-a_n=n+3，
∴${a}_{n+1}=\frac{1}{2}（{a}_{n}+n+3）$．
（2）由a₁=2，a₂=3，a₃=4，…，
猜想a_n=n+1．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时成立；
②假设当n=k（k∈N^*）时，a_k=k+1．
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{1}{2}（k+1+k+3）$=（k+1）+1．
∴当n=k+1时，假设成立．
综上可得：?n∈N^*，a_n=n+1成立．

点评 本题考查了递推关系、数学归纳法，考查了猜想能力、推理能力与计算能力，属于中档题．