Question

12．设A，B是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（　　）

• A． （0，1]∪[9，+∞）
• B． （0，$\sqrt{3}$]∪[9，+∞）
• C． （0，1]∪[4，+∞）
• D． （0，$\sqrt{3}$]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{m}}$≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO=$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{3}}$≥tan60°=$\sqrt{3}$，即可求得m的取值范围．

解答 解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时，
假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{m}}$≥tan60°=$\sqrt{3}$，
解得：0＜m≤1；

当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，
假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{3}}$≥tan60°=$\sqrt{3}$，解得：m≥9，
∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞）
故选A．

点评 本题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．