Question

17．设A，B为曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；
（2）设M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），求出y=$\frac{{x}^{2}}{4}$的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得x₁，x₂的关系式，再由直线AB：y=x+t与y=$\frac{{x}^{2}}{4}$联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．

解答 解：（1）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）为曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$上两点，
则直线AB的斜率为k=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=$\frac{1}{4}$×4=1；
（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
可得x²-4x-4t=0，即有x₁+x₂=4，x₁x₂=-4t，
再由y=$\frac{{x}^{2}}{4}$的导数为y′=$\frac{1}{2}$x，
设M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），可得M处切线的斜率为$\frac{1}{2}$m，
由C在M处的切线与直线AB平行，可得$\frac{1}{2}$m=1，
解得m=2，即M（2，1），
由AM⊥BM可得，k_AM•k_BM=-1，
即为$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-2}$•$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-2}$=-1，
化为x₁x₂+2（x₁+x₂）+20=0，
即为-4t+8+20=0，
解得t=7．
则直线AB的方程为y=x+7．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．