Question

【题目】已知的顶点， 在椭圆上， 在直线上，且．

（）求椭圆的离心率．

（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积．

（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），面积为2；（3）.

【解析】试题分析：（1）由椭圆方程得， ， ，由即可得解；

（2）所直线的方程为与椭圆联立得， ，原点到直线的距离，从而得面积；

（3）设所在直线的方程为，与椭圆联立得，设， 两点坐标分别为， ， ， ， 利用韦达定理代入求最值即可.

试题解析：

（）将椭圆化为标准方程为，

∴， ， ，

∴椭圆的离心率．

（）∵，且边通过点，∴所直线的方程为．

设， 两点坐标分别为， ．

由，得．

∴．

又∵边长的高等于原点到直线的距离，∴，

∴的面积．

（）设所在直线的方程为，

由，得．

∵， 在椭圆上，∴．

设， 两点坐标分别为， ，则， ，

∴．

又∵的长等于点到直线的距离，即，

∴，

∴当时， 边最大，且满足，

此时所在直线的方程为．