题目内容
【题目】如图所示，在四棱柱
中，底面
是梯形，
，侧面
为菱形，
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
，
，直线
与平面所成的角为
，求平面
与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）考虑用向量法来证明，即计算
来证明.具体方法是将
转化为同起点的向量，即
，利用
，
可求得；（2）设线段
的中点为
以射线
射线
、射线
为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系
，利用向量法求得二面角的余弦值为.
试题解析：
（1）解一：因为侧面
为菱形，所以，又，所以
，
，
．
（2）设线段的中点为，连接
，由题意知
平面，因为侧面为菱形，所以
，故可分别以射线射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。
设
，由
可知
，所以
，从而
，所以
．
由
可得
，所以
．
设平面
的一个法向量为
，由
，得
取
，则
，所以
．又平面的法向量为
，所以
．
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