Question

【题目】设函数， ，已知曲线在点处的切线与直线平行.

（Ⅰ）若方程在内存在唯一的根，求出的值；

（Ⅱ）设函数（表示中的较小值），求的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得，求出、的导数和单调区间，最值，由零点存在定理，即可判断存在；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得的解析式，通过的最大值，即可得到所求.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，

又所以．

设

显然当时， ．

又所以存在，使

因为

所以当时， ，

又显然当时， ，

所以当时， 单调递增．

所以时，方程在内存在唯一的根．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方程在内存在唯一的根，

且时， ， 时， ，

所以．

当时，若

若由

可知故

当时，由

可得时， 单调递增；

时， 单调递减．

可知

且．综上可得：函数的最大值为．