Question

【题目】若数列满足，数列为数列，记.

（1）写出一个满足，且的数列；

（2）若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；

（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）0，1，0，1，0；（2）证明见解析；（3）见解析

【解析】

(1)根据与和可考虑写出交替的数列.

(2)先证明必要性,根据数列是递增数列,可得,进而求得.再证明充分性,因为,故,再累加可得证明即可.

(3) 设,则,再累加求得,再分析的奇偶,根据整除的性质,先假设存在再证明矛盾即可.

（1）0,1,0,1,0是一个满足条件的数列.

（2）必要性：因为数列是递增数列,

所以,

所以是首项为13,公差为1的等差数列.

所以,

充分性：由于,故,

,

……

,

所以,即,

又因为,,

所以,

故,即是递增数列.

综上所述,结论成立.

（3）设,则,

因为,

,

……

,

所以

,

因为,所以为偶数（）

所以为偶数,

所以要使,必须使为偶数,

即4整除,亦即或,

当时,数列的项满足,,,

此时,有且成立,

当时,数列的项满足,,,时,亦有且成立,

当或时,不能被4整除,此时不存在数列,使得且成立.