Question

已知函数f（x）=-ae^2x+（2-a）e^x+x，其中a为常数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数h（x）=ln（

2

a

-e^x）+2ae^x-x-2（a＞0），求使得h（x）≤0成立的x的最小值；
（Ⅲ）已知方程f（x）=0的两个根为x₁，x₂，并且满足x₁＜x₂＜ln

2

a

．求证：a（ex1+ex2）＞2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=（2e^x+1）（-ae^x+1），再讨论①当a≤0时，②当a＞0时的情况，从而求出单调区间，
（Ⅱ） 由已知，函数h（x）的定义域为（-∞，ln

2

a

），且h′（x）=

2(aex-1)2

aex-2

，当x∈[ln

1

a

，ln

2

a

）时，h（x）≤0，进而求出x的最小值为ln

1

a

．
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知当a≤0时，由f（ln（

2

a

-ex1 ））-f（x₁ ）=ln（

2

a

-ex1）+2aex1-x₁-2＞0，可得ln（

2

a

-ex1 ）＜x₂．从而a（ex1+ex2）＞2．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（2e^x+1）（-ae^x+1），
①当a≤0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上为单调递增函数；
②当a＞0时，
令f′（x）＞0，解得：x＜ln

1

a

，
令f′（x）＜0，解得：x＞ln

1

a

，
∴函数f（x）在（-∞，ln

1

a

）上为单调递增，在（ln

1

a

，+∞）上为单调递减函数．
（Ⅱ） 由已知，函数h（x）的定义域为（-∞，ln

2

a

），
且h′（x）=

2(aex-1)2

aex-2

，
∵ae^x-2＜0，
∴h（x）在定义域内为递减函数，
又∵h（ln

1

a

）=0，当x∈[ln

1

a

，ln

2

a

）时，h（x）≤0，
∴x的最小值为ln

1

a

．
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知当a≤0时，
函数f（x）在（-∞，+∞）上为单调递增函数，方程至多有一根，
∴a＞0，f（ln

1

a

）＞0，x₁＜ln

1

a

＜x₂，
又∵f（ln（

2

a

-ex1 ））-f（x₁ ）=ln（

2

a

-ex1）+2aex1-x₁-2＞0，
∴f（ln（

2

a

-ex1 ））＞f（x₁）=0，
可得ln（

2

a

-ex1 ）＜x₂．
即

2

a

-ex1＜ex2，
∴a（ex1+ex2）＞2．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．