Question

已知函数f（x）=lg

1-x

1+x

．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性和单调性并证明之．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数的定义域及其求法

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）由

1-x

1+x

＞0，可得函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）利用奇函数的定义可得函数是奇函数，利用导数知识，可得函数的单调性．

解答： 解：（Ⅰ）由

1-x

1+x

＞0，可得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（Ⅱ）f（-x）=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f（x），
∴函数是奇函数；
令y=

1-x

1+x

，则y′=

-2

(1+x)2

，
∵-1＜x＜1，
∴y′＜0，
∴函数在（-1，1）上单调递减，
∴函数f（x）=lg

1-x

1+x

在（-1，1）上单调递减．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查函数的定义域及其求法，综合性强．