Question

已知△ABC的三条边分别为a，b，c试利用函数f（x）=

x

1+x

，x∈（1，+∞）的单调性证明

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：用函数的单调性的定义证明函数f（x）=

x

1+x

，x∈（1，+∞）为增函数，结合a+b＞c＞0知f（a+b）＞f（c），由此证得要证的不等式成立．

解答： 证明：设f(x)=

x

1+x

，x∈(0，+∞)，
设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两个实数，且x₂＞x₁≥0，
由于f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

，
因为x₂＞x₁≥0，所以f（x₁）＜f（x₂），所以f(x)=

x

1+x

在（0，+∞）上是增函数．
由a+b＞c＞0知f（a+b）＞f（c），
即

a+b

1+a+b

＞

c

1+c

．

点评：本题主要考查用函数的单调性的定义证明函数的单调性，并利用函数的单调性证明不等式，属于中档题．