Question

16．已知命题p：函数y=log_0.5（x²+2x+a）的值域R，命题q：函数y=x^2a-5在（0，+∞）上是减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，根据p或q为真命题，p且q为假命题得到p，q一真一假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：对于命题p：因其值域为R，故x²+2x+a＞0不恒成立，
所以△=4-4a≥0，∴a≤1，
对于命q：因其在（0，+∞）上是减函数，
故5-2a＞0，则a＜$\frac{5}{2}$，
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p真q假或p假q真．                 
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≥\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，则a∈∅，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，则1＜a＜$\frac{5}{2}$，
综上可知，1＜a＜$\frac{5}{2}$，
故实数a的取值范围为（1，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了符合命题的判断，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道中档题．