Question

已知数列满足，且，
（1）当时，求出数列的所有项；
（2）当时，设，证明：；
（3）设（2）中的数列的前项和为，证明：.

Answer 1

（1），，；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）先将代入找出递推公式，逐一求出数列的每一项；（2）通过式子的变形找出的形式，利用放缩法比较大小；（3）放缩法求出解析式，再利用等比数列得求和公式求和.
试题解析： （1）证明：∵，，
∴，，
由于当时，使递推式右边的分母为零。
∴数列只有三项：.            （3分）
（2），易知：，
又，
∴                                                  （5分）
由


，

即                                                     （8分）
（3）由（2）知： ，
∴
∵，
∴                                 （11分）

，
∴                                                    （13分）