Question

15．已知数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），a₁=a₂=1，把数列各项依次除以3所得的余数记为数列{b_n}，除以4所得的余数记为数列{c_n}，则b₂₀₁₆+c₂₀₁₆=0．

Answer 1

分析 {a_n}是斐波那契数列，求得{a_n}中各项除以3所得余数组成以8为周期的周期数列，各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，从而可得结论．

解答 解：依题意，该数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…
各项依次除以3所得的余数记为数列{b_n}，则为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，即{c_n}中各项除以3所得余数组成以8为周期的周期数列，
而2016=252×8，故b₂₀₁₆=0
除以4所得的余数记为数列{c_n}，则1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…即{c_n}中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
而2016=336×6，故C₂₀₁₆=0，
故b₂₀₁₆+c₂₀₁₆=0，
故答案为：0．

点评 本题考查了斐波那契数列，以及周期数列，考查了学生的分析问题解决问题的能力，属于中档题．