Question

3．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$为空间三个向量，又$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是两个相互垂直的单位向量，向量$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{c}$|=3，$\overrightarrow{c}$$•\overrightarrow{a}$=2，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=1，则对于任意实数x，y，|$\overrightarrow{c}$-x$\overrightarrow{a}$-y$\overrightarrow{b}$|的最小值为2．

Answer 1

分析 由已知可得$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，展开$|\overrightarrow{c}-x\overrightarrow{a}-y\overrightarrow{b}{|}^{2}$，利用配方法求其最小值，则|$\overrightarrow{c}$-x$\overrightarrow{a}$-y$\overrightarrow{b}$|的最小值可求．

解答 解：由题意可知：$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
又|$\overrightarrow{c}$|=3，$\overrightarrow{c}$$•\overrightarrow{a}$=2，$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=1，
∴$|\overrightarrow{c}-x\overrightarrow{a}-y\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{c}{|}^{2}+{x}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}+{y}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$$-2x\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}-2y\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}+2xy\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=9+x²+y²-4x-2y=（x-2）²+（y-1）²+4，
当且仅当x=2，y=1时，$（|\overrightarrow{c}-x\overrightarrow{a}-y\overrightarrow{b}{|}^{2}）_{min}=4$，
∴|$\overrightarrow{c}$-x$\overrightarrow{a}$-y$\overrightarrow{b}$|的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，训练了利用配方法求二次式的最值，属于中档题．