Question

设函数，f（x）=|x-a|
（Ⅰ）当a=2，解不等式，f（x）≥5-|x-1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，

1

m

+

1

2n

=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=2，不等式即|x-2|+|x-1|≥5．由绝对值的意义可得-1和4到1、2的距离之和正好等于5，从而求得|x-2|+|x-1|≥5的解集．
（Ⅱ）由f（x）≤1求得 a-1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a=1，再根据 m+2n=（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）=2+

2n

m

+

m

2n

，利用基本不等式证得要证的不等式．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2，不等式f（x）≥5-|x-1|，即|x-2|+|x-1|≥5．
由绝对值的意义可得，|x-2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到1、2的距离之和，而-1和4到1、2的距离之和正好等于5，
故|x-2|+|x-1|≥5的解集为（-∞，-1]∪[4，+∞）．
（Ⅱ）由f（x）≤1 可得-1≤x-a≤1，求得 a-1≤x≤a+1，
再根据f（x）≤1的解集为[0，2]，可得a=1．
故有

1

m

+

1

2n

=1（m＞0，n＞0），∴m+2n=（m+2n）（

1

m

+

1

2n

）=2+

2n

m

+

m

2n

≥4，
当且仅当

2n

m

=

m

2n

时，等号成立，故m+2n≥4成立．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于基础题．