Question

【题目】已知函数，其中，.

（1）若，求函数的单调减区间；

（2）若数的极值点是，求b、c的值；

（3）若，曲线在处的切线斜率为，求证：的极大值大于.

Answer 1

【答案】（1）单调减区间为（2），（3）证明见解析

【解析】

（1）计算导数，由确定减区间．

（2）由，可求得，注意即可；

（3）由所以，得.由于，则，极大值点必是的较小根，设其为，则有，再结合，可求得的取值范围，计算，可利用换元法及导数的知识得证．

（1）因为，

所以，

故.

令，即，

解得，

所以函数的单调减区间为.

（2）因为，

所以.

因为是函数的极值点，

所以是方程的实数根，

故，解得或，

又因为，所以，.

（3）若，由（2）知，

则.

因为曲线在处的切线斜率为，

所以，即.

又因为，所以.

设的较小的根为，

则，即.

由及，得，解得，

则的极大值为

令，则.

所以，

故，在上恒成立，

所以，在上为减函数，

故，即的极大值大于.