Question

【题目】已知动圆过定点，且与直线相切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的斜率分别为，且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析,过定点.

【解析】

（1）由题意可得，动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义可求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）设，则.由题意知直线的斜率存在，从而设方程为，将与联立消去，得，由韦达定理得，代入得，代入直线方程即得.

（1）设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，

由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，

所以轨迹方程为；

（2）如图，设，由题意得，

由题意知直线的斜率存在，从而设AB方程为，显然，

将与联立消去，得

由韦达定理知

由，即

将①式代入上式整理化简可得：，

所以AB方程为过定点.