Question

【题目】已知菱形中，对角线与相交于一点， ，将沿着折起得，连接.

（1）求证：平面平面；

（2）若点在平面上的投影恰好是的重心，求直线与底面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）只需证明， ， ， 平面，
即可得平面平面平面；
（Ⅱ）设在平面上的投影为，即平面，过点作交于点，过点作于点，连结，并过作于点，即可证得是与底面所成的角，进而求解.

试题解析：

（1）因为， ， ，所以平面，又因为平面，所以平面平面；

（2）方法一：设在平面上的投影为，即平面，

过点作交于点，过点作于点，

连结，并过作于点，

因为平面，即，且有，

，所以平面，即，

又因为，且，故平面，

从而知是与底面所成的角，

设，则在中有， ，所以，故与底面所成角的正弦值为，即与底面所成角的正弦值为.

（2）方法二：如图建系，

令，则知， ， ， ，

即，平面的法向量为，

故与底面所成角的正弦值为.