Question

【题目】设函数 （为常数，是自然对数的底数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为单调递增区间为；（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．

试题解析：（1）.函数的定义域为

由可得,

所以当时,,函数单调递减;

当时,,函数单调递增;

所以的单调递减区间为单调递增区间为.

（2）.由1知,时,函数在内单调递减,

故在内不存在极值点;

当时,设函数,,

因为,

当时,当时,,单调递增;

故在内不存在两个极值点;

当时,得时,,函数单调递减;

时,,函数单调递增;

所以函数的最小值为,

函数在内存在两个极值点,

当且仅当,解得.

综上所述,函数在内存在两个极值点时,的取值范围为.