题目内容
如图所示，在四边形ABCD中，|| AB |
| BD |
| DC |
| AB |
| BD |
| DC |
| BD |
| AB |
| BD |
| DC |
| BD |
| AP |
| AB |
| CP |
| CD |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由|
|+|
|+|
|=6，|
||
|+|
|
|=9，可得|
|+|
|=3，|
|=3．利用
•
=
•
=0，可得
•
+
•
=(
+
)•
+(
+
)•
=
2+
2，令|
|=t，t∈（0，3）．可得
•
+
•
=t2+（3-t）2．再利用二次函数的单调性即可得出．
| AB |
| BD |
| DC |
| AB |
| BD |
| DC |
| BD |
| AB |
| DC |
| BD |
| AB |
| BD |
| DC |
| BD |
| AP |
| AB |
| CP |
| CD |
| AB |
| BP |
| AB |
| CD |
| DP |
| CD |
| AB |
| CD |
| AB |
| AP |
| AB |
| CP |
| CD |
解答：
解：由|
|+|
|+|
|=6，|
||
|+|
|
|=9，
可得|
|+|
|=3，|
|=3．
∵
•
=
•
=0，
∴
•
+
•
=(
+
)•
+(
+
)•
=
2+
2，
令|
|=t，t∈（0，3）．
∴
•
+
•
=
2+
2=t2+（3-t）2=2(t-
)2+
∈[
，9)．
| AB |
| BD |
| DC |
| AB |
| BD |
| DC |
| BD |
可得|
| AB |
| DC |
| BD |
∵
| AB |
| BD |
| DC |
| BD |
∴
| AP |
| AB |
| CP |
| CD |
| AB |
| BP |
| AB |
| CD |
| DP |
| CD |
| AB |
| CD |
令|
| AB |
∴
| AP |
| AB |
| CP |
| CD |
| AB |
| CD |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
点评：本题考查了向量的数量积运算、三角形法则、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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