Question

已知函数，，令。

（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

 

Answer 1

．【解析】解：⑴       ……………………2分

由得又所以．所以的单增区间为. ………4分

（2）方法一：令

所以．………………………6分

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为

所以关于的不等式不能恒成立．                 ………………………8分

当时，．

令得，所以当时，当时，．

因此函数在是增函数，在是减函数．

故函数的最大值为  …………10分

令因为

又因为在上是减函数，所以当时，．

所以整数的最小值为2．                                         ……………12分

方法二：⑵由恒成立，得在上恒成立．

问题等价于在上恒成立．                   

令，只要．                         ……………………6分

因为令得．

设，因为，所以在上单调递减，………………8分

不妨设的根为．当时，当时，．

所以在上是增函数；在上是减函数．

所以．               …………………10分

因为

所以此时所以即整数的最小值为2  ……  12分