Question

2．若$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\frac{π}{2}}\\{sinx≤y≤cosx}\end{array}\right.$，z=x+y，则z的取值范围是[0，$\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义数形结合即可得到结论．

解答 解：作出可行域如图所示，

观察图形，可得直线z=x+y经过原点时，z取得最小值0；
由y′=-sinx=-1，得x=$\frac{π}{2}$，
∴直线z=x+y与曲线y=cosx（0≤x≤$\frac{π}{4}$）相交于点A（$\frac{π}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，z达到最大值．
由此可得z_max=$\frac{π}{4}$+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}$．
综上所述，可得z的取值范围为[0，$\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}$]．
故答案为：[0，$\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了运用导数求函数图象的切线的知识，体现了数形结合的解题思想方法，属于中档题．