Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.

（1）证明：面；

（2）证明：面面；

（3）求直线与面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）

【解析】

(1)取中点,证明即可.
(2)证明面即可.

(3)利用等体积法,先求出三棱锥的体积,再求出的面积,进而求得到平面的体积,再求解与面所成角的正弦值即可.

(1) 取中点,连接.

因为为棱的中点,所以且,又且,

故且,故四边形为平行四边形,故,

又面,面,故面.

(2)因为,故,又底面,故面面,

又面面,,,故,

故面,故.

所以 ,面,面,故面.

又,所以面.又面故面面.

(3).

又,,

.故.

故到平面的距离满足

即,所以.

设直线与面所成角为,则

即直线与面所成角的正弦值为.