Question

【题目】已知函数f（x）＝2lnx﹣2mx+x2（m＞0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当时，若函数f（x）的导函数f′（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），线段AB的中点的横坐标为x0，且x1，x2恰为函数h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零点．求证（x1﹣x2）h'（x0）≥+ln2．

Answer 1

【答案】（1）当0＜m≤2时，f（x）在（0，+∞）内单调递增；当m＞2时，f（x）在内单调递减，在，内单调递增； （2）见解析.

【解析】

（1）由题易知，然后将其看成二次函数，讨论根与系数之间的关系和判别式对其进行分析，得出单调性；

（2）求出函数的导函数，表示出，令，由，根据函数的单调性证明即可.

（1）由于f（x）＝2lnx﹣2mx+x2的定义域为（0，+∞）， ．

对于方程x2﹣mx+1＝0，其判别式△＝m2﹣4．

当m2﹣4≤0，即0＜m≤2时，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）内单调递增．

当m2﹣4＞0，即m＞2，方程x2﹣mx+1＝0恰有两个不相等是实根，

令f'（x）＞0，得或，此时f（x）单调递增；

令f'（x）＜0，得，此时f（x）单调递减．

综上所述，当0＜m≤2时，f（x）在（0，+∞）内单调递增；

当m＞2时，f（x）在内单调递减，

在，内单调递增．

（2）证明：由（1）知， ，

所以f'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1＝0的两根．

因为，所以△＝m2﹣4＞0，x1+x2＝m，x1x2＝1．

又因为x1，x2为h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零点，

所以，

两式相减得，

得 ．而，

所以（x1﹣x2）h'（x0）＝

＝

令，由得，

因为x1x2＝1，两边同时除以x1x2，得，

因为，故，解得 或t≥2，所以．

设 ，所以，

则y＝G（t）在上是减函数，所以，

即y＝（x1﹣x2）h'（x0）的最小值为．

所以 ．