Question

若f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）的图象是中心对称图形，则a=

 

．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：函数的性质及应用

分析：根据中心对称的定义和性质，建立方程即可得到结论．
或将函数解析式去绝对值号，进行整理，转化为分段函数形式，再依据函数图象是中心对称图形，即可得到答案．

解答： 解：f(x+

a+4

2

)=(x+

3a+4

2

)(|x+

4-a

2

|+|x+

a-4

2

|)，
因为g(x)=|x+

4-a

2

|+|x+

a-4

2

|为偶函数，所以当且仅当

3a+4

2

=0，即a=-

4

3

时，f(x+

a+4

2

)为奇函数，图象关于原点对称．
另解：
①若a=4，则f（x）=2（x+4）|x-4|=

2x2-32 (x≥4) 32-2x2 (x＜4)

，图象不具有中心对称性；
②若a＞4，则f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）=

(x+a)(2x-a-4) (x＞a) (a-4)(x+a) (4≤x≤a) -(x+a)(2x-a-4) (x＜4)

．
若图象中心对称，则对称中心必为(

a+4

2

，f(

a+4

2

))．
从而，对任意x＞a，f(x)+f(a+4-x)=2f(

a+4

2

)恒成立，
即（x+a）（2x-a-4）-（2a+4-x）（a+4-2x）=2(a-4)(

a+4

2

+a)恒成立，
所以

3a+4=0 a(7a+8)=0

，无解；
③若a＜4，则f（x）=（x+a）（|x-a|+|x-4|）=

(x+a)(2x-a-4) (x＞4) (4-a)(x+a) (a≤x≤4) -(x+a)(2x-a-4) (x＜a)

．
若图象中心对称，则对称中心必为(

a+4

2

，f(

a+4

2

))．
从而，对任意x＞4，f(x)+f(a+4-x)=2f(

a+4

2

)恒成立，
即（x+a）（2x-a-4）-（2a+4-x）（a+4-2x）=2(4-a)(

a+4

2

+a)恒成立，
所以3a+4=0，故a=-

4

3

．
故答案为：-

4

3

．

点评：本题主要考查函数对称的应用，利用条件构造方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大，一般不太容易想到构造法．