Question

9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x+2）=f（x），若f（x）满足：
①x∈[0，2）时，f（x）=a-|x-b|，
②f（x）是定义在R上的周期函数，
③存在m使得f（x+m）=-f（m-x）
则a+b的值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和周期性的关系，判断函数的对称性，利用对称性建立方程进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x+2）=f（x），
∴当x≥0时，f（x+2）=f（x）=f（-x），即此时函数关于x=1
∵x∈[0，2）时，f（x）=a-|x-b|，
∴对称轴x=b，则b=1，则f（x）=a-|x-1|，
若存在m使得f（x+m）=-f（m-x），
则f（x+m）=-f（m-x）=-f（x-m），
即f（x+2m）=-f（x），
则f（x+4m）=-f（x+2m）=f（x），
∵f（x+2）=f（x），
∴函数的周期是2，
则4m=2，则m=$\frac{1}{2}$，
则f（x+$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$-x），
则f（0）=-f（1），
则a-1=-（a-0）=-a，
则a=$\frac{1}{2}$，
则a+b=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$

点评 本题主要考查函数性质的综合应用，利用函数奇偶性和对称性的性质以及函数的周期性建立方程关系是解决本题的关键．