Question

19．如图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一点P（1，2），作两条直线分别交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：
（1）求y₁+y₂的值；
（2）若直线AB在y轴上的截距b∈[-1，3]时，求△ABP面积S_△ABP的最大值．

Answer 1

分析 （1）把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB，则可分别表示k_PA和k_PB，根据倾斜角互补可知k_PA=-k_PB，进而求得y₁+y₂的值；
（2）表示出面积，利用导数方法求△ABP面积S_△ABP的最大值．

解答 解：（1）∵点P（1，2）在抛物线上，∴2²=2p，解得p=2．
设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB．
则k_PA=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$（x₁≠1），k_PB=$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$（x₂≠1），
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴k_PA=-k_PB．
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上，得
y₁²=4x₁，①y₂²=4x₂，②
∴y₁+2=-（y₂+2），∴y₁+y₂=-4．
（2）由①-②得直线AB的斜率为k_AB=-1．
因此设直线AB的方程为y=-x+b，由直线与抛物线方程联立，消去y得x²-（2b+4）x+b²=0，
由△≥0，得b≥-1，这时x₁+x₂=2b+4，x₁x₂=b²，
|AB|=4$\sqrt{2}$$\sqrt{b+1}$，又点P到直线AB的距离为d=$\frac{|3-b|}{\sqrt{2}}$，
所以S_△ABP=$\sqrt{2（b+1）（3-b）^{2}}$，
令f（x）=（x+1）（3-x）²（x∈[-1，3]），则由f′（x）=（3x-1）（x-3）=0，得x=$\frac{1}{3}$或x=3，
当x∈（-1，$\frac{1}{3}$）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，当x∈（$\frac{1}{3}$，3）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递减，
故f（x）的最大值为$\frac{256}{27}$，故△ABP面积S_△ABP的最大值为$\frac{16\sqrt{6}}{9}$．

点评 本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，以及运算求解能力．