Question

18．已知函数f（x）=2^x+2^-x．
（1）求方程f（x）=$\frac{5}{2}$的根；
（2）求证：f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（3）若对于任意x∈[0，+∞），不等式f（2x）≥f（x）-m恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出2^x的值，从而求出方程的根即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）求出f（2x）的表达式，得到m≥f（x）-f（2x）=f（x）-[f（x）]²+2，从而求出m的最小值即可．

解答 （1）解：方程$f（x）=\frac{5}{2}$，即${2^x}+{2^{-x}}=\frac{5}{2}$，
亦即${（{2^x}）^2}-\frac{5}{2}×{2^x}+1=0$，
∴2^x=2或${2^x}=\frac{1}{2}$，
∴x=1或x=-1．…（4分）
（2）证明：设0≤x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{x_1}}+{2^{-{x_1}}}-（{2^{x_2}}+{2^{-{x_2}}}）=\frac{{（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）（1-{2^{{x_1}+{x_2}}}）}}{{{2^{x_1}}{2^{x_2}}}}＜0$，
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）解：由条件知f（2x）=2^2x+2^-2x=（2^x+2^-x）²-2=（f（x））²-2，
因为f（2x）≥f（x）-m对于x∈[0，+∞）恒成立，且f（x）＞0，
m≥f（x）-f（2x）=f（x）-[f（x）]²+2．
又x≥0，∴由（2）知f（x）最小值为2，
∴f（x）=2时，m最小为2-4+2=0．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查解方程以及二次函数的性质，是一道中档题．