Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出下列函数：
①f（x）=x；      
②f（x）=e^x；
③f（x）=sinx；   
④f（x）=ln（x+1）．
其中存在“稳定区间”的函数的个数有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：根据“稳定区间”的定义，可以得到函数的定义域和值域相同．

解答： 解①若f（x）=x函数单调递增，若满足条件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

a=a b=b

，所以对任意的求解[a，b]都是稳定区间为所以①正确．
②若f（x）=e^x函数单调递增，若满足条件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

ea=a eb=b

，即a，b是方程e^x=x的两个根，作出函数y=e^x和y=x的图象，由图象可知两个图象没有公共点，所以②不存在稳定区间．
③由正弦函数的性质我们易得，函数f（x）=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上是单调增函数，若函数在[-

π

2

，

π

2

]上存在“好区间”[a，b]，则必有sina=a，sinb=b．
即方程sinx=x有两个根，令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，
所以函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上为减函数，则函数g（x）=sinx-x在[-

π

2

，

π

2

]上至多有一个零点，
即方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上不可能有两个解，
又因为f（x）的值域为[-1，1]，所以当x＜-

π

2

或x＞

π

2

时，
方程sinx=x无解．
所以函数f（x）=sinx没有“稳定区间”；所以③错误．
④若f（x）函数单调递增，若满足条件，得

f(a)=a f(b)=b

，即

ln(a+1)=a ln(b+1)=b

，即a，b是x=ln（1+x）的两个根，
设g（x）=x-ln（1+x），则g′（x）=1-

1

1+x

=

x

1+x

，由g′（x）=0得x=0，则函数在x=0时，函数g（x）取得极大值g（0）=0，
则方程x=ln（1+x）只有一个根x=0，则函数g（x）不存在稳定区间．故④错误，
故选A．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合是解答本题的关键．