Question

10．设点 P在曲线y=e^2x上，点Q在曲线y=$\frac{1}{2}$lnx上，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（1-ln2）
• B． $\sqrt{2}$（1-ln2）
• C． $\sqrt{2}$（1+ln2）
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（1+ln2）

Answer 1

分析 由y=e^2x与$y=\frac{1}{2}lnx$互为反函数，图象关于直线y=x对称；利用导数求出y=e^2x的切线方程，计算原点到切线的距离，即可得出|PQ|的最小值．

解答 解：y=e^2x与$y=\frac{1}{2}lnx$互为反函数，它们图象关于直线y=x对称；
又y'=2e^2x，由直线的斜率$k=2{e^{2{x_0}}}=1$，得${x_0}=-\frac{1}{2}ln2$，
${y_0}={e^{2{x_0}}}=\frac{1}{2}$，
所以切线方程为$x-y+\frac{1}{2}+ln2=0$，
则原点到切线的距离为$d=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（1+ln2）$，
|PQ|的最小值为$2d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（1+ln2）$．
故选：D．

点评 本题考查了互为反函数的两个函数的图象上的点距离最小的应用问题，也考查了利用导数研究曲线的切线问题，是综合性题目．