Question

1．如图，在平行四边形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=2AE，BC=3CF．若$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OE}$+μ$\overrightarrow{OF}$（λ、μ∈R），则λ+μ=$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理，建立方程组，求出λ、μ的值即可．

解答 解：平行四边形OABC中，AB=2AE，BC=3CF；
∴$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OE}$+μ$\overrightarrow{OF}$=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AE}$）+μ（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{CF}$）
=λ（$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$）+μ（$\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$）
=（λ+$\frac{1}{3}$μ）$\overrightarrow{OA}$+（$\frac{1}{2}$λ+μ）$\overrightarrow{OC}$，
又$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+\frac{1}{3}μ=1}\\{\frac{1}{2}λ+μ=1}\end{array}\right.$，
解得λ=$\frac{4}{5}$，μ=$\frac{3}{5}$；
∴λ+μ=$\frac{7}{5}$．
故答案为：$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，也考查了计算与推理能力，正确运用平面向量基本定理是解题的关键．