Question

已知2 

1

x

＞x^a对任意x∈（0，1）成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式转化为

a

ln2

＞

1

xlnx

，令f（x）=

1

xlnx

，（0＜x＜1），通过求导得到f（x）_max=f（

1

e

）=-e，从而

a

ln2

＞-e，解出即可．

解答： 解：对2

1

x

＞x^a两边取对数，得

1

x

ln2＞alnx，
由于0＜x＜1，∴

a

ln2

＞

1

xlnx

，
令f（x）=

1

xlnx

，（0＜x＜1），∴f′（x）=-

lnx+1

x2ln2x

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜

1

e

，
令f′（x）＜0，解得：

1

e

＜x＜1，
∴f（x）在（0，

1

e

）递增，在（

1

e

，1）递减，
∴f（x）_max=f（

1

e

）=-e，
∴

a

ln2

＞-e，∴a＞-eln2，
故答案为：（-eln2，+∞）．

点评：本题考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想，是一道中档题．