Question

12．某公司生产一种产品，有一项质量指标为“长度”（单位：cm），该质量指标服从正态分布N（170，16）．该公司已生产10万件，为检验这批产品的质量，先从中随机抽取50件，测量发现全部介于157cm和187cm之间，得到如下频数分布表：

分组	[157，162）	[162，167）	[167，172）	[172，177）	[177，182）	[182，187）
频数	5	10	15	10	5	5

（Ⅰ）估计该公司已生产10万件中在[182，187]的件数；
（Ⅱ）从检测的产品在[177，187]中任意取2件，这2件产品在所有已生产的10万件产品长度排列中（从长到短），排列在前130的件数记为X．求X的分布列和数学期望．
参考数据：若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意利用分层抽样性质能求出该公司已生产10万件中在[182，187]的件数．
（Ⅱ）先求出P（170-3×4＜X≤170+3×4）=0.9974，从而P（X≥182）=0.0013，进而推导出随机变量X可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由题意$\frac{5}{50}×100000=10000$．
∴该公司已生产10万件中在[182，187]的有1万件．
（Ⅱ）∵P（170-3×4＜X≤170+3×4）=0.9974，
∴P（X≥182）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
而0.0013×10000=130．
所以，已生产的前130件的产品长度在182cm以上，
这50件中182cm以上的有5件．随机变量X可取0，1，2，
于是P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{10}{45}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{25}{45}$=$\frac{5}{9}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$．
∴X的分布列：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$

∴EX=$0×\frac{2}{9}+1×\frac{5}{9}+2×\frac{2}{9}$=1．

点评 本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识和正态分布的合理运用．

分组	[157，162）	[162，167）	[167，172）	[172，177）	[177，182）	[182，187）
频数	5	10	15	10	5	5