Question

3．已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时xf′（x）＜-f（x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=$\sqrt{3}$f（$\sqrt{3}$），b=f（1），c=-2f（log₂$\frac{1}{4}$），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． c＞a＞b
• B． c＞b＞a
• C． a＞b＞c
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 由f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），有xf′（x）+f（x）＜0，由导数的积的运算得到[xf（x）]′＜0，令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，由c=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=$\sqrt{3}$f（$\sqrt{3}$）=g（$\sqrt{3}$），b=f（1）=g（1），即可得到所求大小关系．

解答 解：当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
∴[xf（x）]′＜0，
∴令F（x）=xf（x），
由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
则F（x）为偶函数，
且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
由c=-2f（log₂$\frac{1}{4}$）=-2f（-2）=2f（2）=g（2），
a=$\sqrt{3}$f（$\sqrt{3}$）=g（$\sqrt{3}$），b=f（1）=g（1），
由1＜$\sqrt{3}$＜2，可得b＜a＜c．
故选：A．

点评 本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题．