Question

已知函数f（x）=x²-（m+1）x+m（m∈R）．
（1）若tanA，tanB为方程f（x）+4=0的两个实根，并且A，B为锐角，求m的取值范围；
（2）对任意实数a，恒有f（2+cosa）≤0，证明：m≥3．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）x²-（m+1）x+m+4=0，（m∈R）．得出△=m²+2m+1-4m-16=m²-2m-15≥0，m+1＞0，m+4＞0，求解即可．
（2）运用（2+cosα）²-（m+1）（2+cosα）+m≤0运用，m≥2+cosα，恒成立问题求解．

解答： 解：（1）由f（x）+4=0，
即x²-（m+1）x+m+4=0，（m∈R）．
△=m²+2m+1-4m-16=m²-2m-15≥0，
∴m≥5或，m≤-3，
同时，tanA+tanB＞0，tanA•tanB＞0，
∴m+1＞0，m+4＞0，得出m＞-1，
∴m≥5．
（2）f（2+cosα）=（2+cosα）²-（m+1）（2+cosα）+m≤0，
即m（1+cosα）≥（1+cosα）（2+cosα）
当1+cosα=0时，显然成立，当1+cosα≠0时，m≥2+cosα，
∴m≥3．

点评：本题考查了二次函数的性质，不等式的求解，属于中档题．