Question

已知函数f（x）=2x+

a

x

+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性并求极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=3代入函数解析式，求出函数的导函数，得到f′（1），在求出f（1），利用直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出函数的定义域，求出函数的导函数，然后对a分类求解导函数的零点，判断导函数在各区间段内的符号，从而得到原函数的单调性与极值，是压轴题．

解答： 解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=2x+

3

a

+lnx，
f′(x)=2+

1

x

-

3

x2

，
则f(1)=2×1+

3

1

+ln1=5，f′（1）=0，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-5=0；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′(x)=2+

1

x

-

a

x2

=

2x2+x-a

x2

．
记g（x）=2x²+x-a，△=1+8a．
①当△=1+8a≤0，即a≤-

1

8

时，g（x）=2x²+x-a≥0恒成立（当x=

1

4

时取“=”），
则f′(x)=2+

1

x

-

a

x2

=

2x2+x-a

x2

＞0在（0，+∞）上恒成立，
即函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
②当a＞-

1

8

时，函数有两个零点x1=

-1- 1+8a

4

＜0，
x2=

-1+ 1+8a

4

．
令1+8a＞1，则a＞0，此时x₂＞0，则x∈(0，

-1+ 1+8a

4

)时，g（x）＜0，f′（x）＜0；
x∈(

-1+ 1+8a

4

，+∞)时，g（x）＞0，f′（x）＞0，
即函数f（x）在x∈(0，

-1+ 1+8a

4

)时单调递减，在x∈(

-1+ 1+8a

4

，+∞)时单调递增，
从而函数f（x）的极小值为f(

-1+ 1+8a

4

)，无极大值．
而当-

1

8

＜a≤0时，x₂≤0，则有x＞0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值．
综上可知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
当函数f（x）在x∈(0，

-1+ 1+8a

4

)时单调递减，在x∈(

-1+ 1+8a

4

，+∞)时单调递增，
从而函数f（x）的极小值为f(

-1+ 1+8a

4

)，无极大值．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．