Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一部分图象如图所示，（其中A＞0，ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）
（1）求函数f（x）的解析式并求函数的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f（A）=1，f（B）=-1，|AB|=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可得到结论．
（2）根据条件求出A，B的值，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由图可知：A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{6}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{π}{4}$，则T=π=$\frac{2π}{ω}$，
即ω=2，由五点对应法得2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
当2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=1，f（B）=-1，
则f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{6}$）=-1，
则sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，sin（2B+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
即2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，
得A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{2}$，
∵|AB|=2，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角形面积的计算，根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．