Question

【题目】如图，在多面体中，均垂直于平面，，，，.

（1）过的平面与平面垂直，请在图中作出截此多面体所得的截面，并说明理由；

（2）若，，求多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面．然后根据空间中的线面关系可证得平面平面即可．（2）利用分割或补形的方法可求得多面体的体积．

（1）取的中点，连接，则平行四边形即为所求的截面.

理由如下：

因为均垂直于平面，

所以，

因为，，

所以四边形为梯形．

又分别为中点，

所以，，

所以，，

所以为平行四边形，

因为，为中点，

所以．

又平面，平面，

所以．

又，

所以平面

又平面，

所以平面平面，

所以平行四边形即为所作的截面.

（2）法一：过点作于点．

因为平面，平面，

所以，

又，平面，

所以平面

在中，，，，

得，

所以，

因为，

所以，

，

所以.

法二：将多面体补成直三棱柱，

其中，，，，

则

在中，，，，

得，

所以，

所以，

所以.

法三：在多面体中作直三棱柱，

则，

在中，，，，

得，

所以，

设边上的高为，

则，

因为平面，平面，

所以，

又，平面，

所以平面．

所以，

，

所以．