Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若，，求证：.

Answer 1

【答案】(1) 的单调递增区间为，不存在递减区间.(2)见证明

【解析】

(1)求出，研究函数的正负情况即可明确的正负情况，即可得到的单调区间；

(2) 设，证明，要证明

只需证明.

解法一：（1）的定义域为，时，

,

所以

当时，，所以在单调递减；

当时，，所以在单调递增；

所以，所以在单调递增，

即的单调递增区间为，不存在递减区间.

（2）设，则

当时，，所以在单调递增；

当时，，所以在单调递减；

所以

所以时，

即，要证明

只需证明

由（1）知，在单调递增，

所以，当时，，即

所以当时，

所以只需证明，即证明

设，则

所以在单调递增，所以，所以原不等式成立.

综上，当，时，

解法二：（1）同解法一

（2）同解法一得只需证明

设，则

,

由得，即

因为，所以

又因为，所以

因为，所以

所以，在单调递增，所以

所以在单调递减，所以，即

综上，当，时，

解法三：（1）同解法一

（2）同解法一得要证明，只需证明，

即证明，设

则

由，得，即，所以，

所以在单调递增，所以

即，所以

综上，当，时，

解法四：（1）同解法一

（2）同解法一得要证明，只需证明，

即证明，设

，设，

因为，所以，所以在单调递减，

所以，

所以在单调递增，所以

即，所以

综上，当，时，