Question

【题目】已知椭圆：，过点且与轴不重合的直线与相交于两点，点，直线与直线交于点.

（1）当垂直于轴时，求直线的方程；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）当垂直于轴时，其方程为，求出点的坐标后可得直线的斜率，于是可得直线方程。（2）由于在轴上，所以只需证明点的纵坐标相等即可得到结论成立，解题时注意直线方程的设法．

（1）设点，

当垂直于轴时，可得，所以，

所以点的坐标为，

又，

所以，

所以直线的方程为．

（2）法一：

①当直线的斜率不存在时，其方程为，

若，则，此时方程为，当时，，所以，因此，所以．

若，则，此时方程为，当时，，所以，因此，所以．

综上可得．

②当直线的斜率存在时，设，

由 消去y整理得，

其中，

设，，则，

因为，

所以直线的方程为

当时，得，

因为

．

所以，

所以．

法二：

设直线，

由消去x整理得，

其中，

设，，则，

所以，故所以．

因为，

所以直线的方程为，

当时，得，

所以，

所以．