Question

7．设f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，当x∈[0，1]时，f（x）=-$\sqrt{1-{x^2}}$，则函数g（x）=f（x）-e^x+1在区间[-2017，2017]上零点的个数为（　　）

• A． 2016
• B． 2017
• C． 4032
• D． 4034

Answer 1

分析 由题意可判断出函数f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[-1，1]时，f（x）=-$\sqrt{1-{x^2}}$，在[-2017，0]，共有1008个半圆弧及一个$\frac{1}{4}$圆弧，即可得出结论．

解答 解：∵对任意的实数x，恒有f（x）-f（-x）=0，
∴函数f（x）是周期为2的偶函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=-$\sqrt{1-{x^2}}$，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）=-$\sqrt{1-{x^2}}$，
在[-2017，0]，共有1008个半圆弧及一个$\frac{1}{4}$圆弧，
∴函数g（x）=f（x）-e^x+1在区间[-2017，2017]上零点的个数为1008×2+1=2017，
故选：B．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的奇偶性和函数在一个周期内的图象是解决本题的关键．