Question

16．若函数f（x）=（x-1）（x+2）（x²+ax+b）是偶函数，则f（x）的最小值为（　　）

• A． -$\frac{25}{4}$
• B． $\frac{7}{4}$
• C． -$\frac{9}{4}$
• D． $\frac{41}{4}$

Answer 1

分析 根据题意，由于函数f（x）为偶函数，则可得f（-x）=f（x），即（-x-1）（-x+2）（x²-ax+b）=（x-1）（x+2）（x²+ax+b），分析可得a、b的值，即可得函数f（x）的解析式，对其求导，分析可得当x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，f（x）取得最小值；计算即可的答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=（x-1）（x+2）（x²+ax+b）是偶函数，
则有f（-x）=f（x），
即（-x-1）（-x+2）（x²-ax+b）=（x-1）（x+2）（x²+ax+b）
分析可得：-2（1-a+b）=0，4（4+2a+b）=0，
解可得：a=-1，b=-2，
则f（x）=（x-1）（x+2）（x²-x-2）=x⁴-5x²+4，
f′（x）=4x³-10x=x（4x²-10），
令f′（x）=0，可得当x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，f（x）取得最小值；
又由函数为偶函数，
则f（x）_min=（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）⁴-5（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）²+4=-$\frac{9}{4}$；
故选：C．

点评 本题考查函数的最值计算，关键是利用函数的奇偶性求出a、b的值，确定函数的解析式．