Question

长为3的线段AB的两个端点A，B分别在x，y轴上移动，点P在直线AB上且满足，
（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；
（Ⅱ）记点P轨迹为曲线C，过点Q（2，1）任作直线l交曲线C于M，N两点，过M作斜率为的直线l′交曲线C于另一点R。求证：直线NR与直线OQ的交点为定点（O为坐标原点），并求出该定点。

Answer 1

解：（Ⅰ）设，
由，
又由，
即为点P的轨迹方程。
（Ⅱ）当l的斜率不存在时，直线l与曲线C相切，不合题意；
当l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+1，即y=kx+1-2k，
联立方程，
设，
则，
则MR的方程为，
与曲线C的方程联列得，
则，
所以，
直线NR的方程为，
令，

，


，
∴，
从而，
即直线NR与直线OQ交于定点。