Question

长为3的线段AB的两个端点A，B分别在x，y轴上移动，点P在直线AB上且满足

BP

=2

PA

．
（ I）求点P的轨迹的方程；
（ II）记点P轨迹为曲线C，过点Q（2，1）任作直线l交曲线C于M，N两点，过M作斜率为-

1

2

的直线l'交曲线C于另一R点．求证：直线NR与直线OQ的交点为定点（O为坐标原点），并求出该定点．

Answer 1

分析：（ I）利用

BP

=2

PA

，确定A，B，P坐标之间的关系，由|AB|=3，即可求点P的轨迹方程；
（ II）当l的斜率不存在时，直线l与曲线C相切，不合题意；当l斜率存在时，设直线l的方程与椭圆方程联立，确定MR、NR的方程，利用y=

1

2

x，结合韦达定理，即可证得结论．

解答：（ I）解：设A（m，0），B（0，n），P（x，y）
由

BP

=2

PA

得x=2（m-x），y-n=2（0-y），即m=

3

2

x，n=3y
又由|AB|=

m2+n2

=3得

x2

4

+y2=1，即为点P的轨迹方程．
（ II）证明：当l的斜率不存在时，直线l与曲线C相切，不合题意；
当l斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-2）+1，即y=kx+1-2k，与椭圆方程联立，消去y可得
（1+4k²）+8k（1-2k）x+16（k²-k）=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），R（x₃，y₃），则x₁+x₂=

8k(1-2k)

1+4k2

，x₁x₂=

16(k2-k)

1+4k2

∴MR的方程为y=-

1

2

(x-x1)+y1
与曲线C的方程联立可得：2x²-2（x₁+2y₁）x+(x1+2y1)2-4=0
∴x₁+x₃=x₁+2y₁
∴x₃=2y₁，y3=-

1

2

(x3-x1)+y1=

1

2

x1
直线NR的方程为y=

1 2 x1-y2

2y1-x2

(x-x2)+y2
令y=

1

2

x，则

2y1+2y2-x1-x2

2y1-x2

x=

4y1y2-x1x2

2y1-x2

∵2y1+2y2-x1-x2=(2k-1)(x1+x2)+4(1-2k) =(2k-1) 8k(2k-1) 1+4k2 +4(1-2k)

=

4(1-4k2)

1+4k2

4y₁y₂-x₁x₂=（4k²-1）x₁x₂+4k（1-2k）（x₁+x₂）+4（1-2k）²=（4k²-1）×

16(k2-k)

1+4k2

+4k（1-2k）×

8k(1-2k)

1+4k2

+4（1-2k）²
=

4(1-4k2)

1+4k2

∴4y₁y₂-x₁x₂=2y₁+2y₂-x₁-x₂
从而x=1，y=

1

2

即直线NR与直线OQ交于定点（1，

1

2

）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，综合性强．