Question

15．设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，若$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，且A，C，D三点共线，则m=-3．

Answer 1

分析 容易求出$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{a}+（m+1）\overrightarrow{b}$，并根据条件知$\overrightarrow{CD}≠\overrightarrow{0}$，这样由A，C，D三点共线即可得到$\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{CD}$，从而由平面向量基本定理便可建立关于m，n的方程组，解出m即可．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{a}+（m+1）\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$；
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$不共线，∴$\overrightarrow{CD}≠\overrightarrow{0}$；
又A，C，D三点共线；
∴$\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{CD}$；
即$4\overrightarrow{a}+（m+1）\overrightarrow{b}=2n\overrightarrow{a}-n\overrightarrow{b}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2n}\\{m+1=-n}\end{array}\right.$；
∴m=-3．
故答案为：-3．

点评 考查向量加法和数乘运算，平面向量基本定理和共线向量基本定理．