Question

【题目】已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.

（1）若，，写出满足条件的所有的值；

（2）求证：当时，；

（3）求所有可能取值中的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）85

【解析】

（1）根据满足的两个条件即可得到满足条件的所有的值；

（2）由，对于任意的，有. 当时，成立，即成立；若存在使，由反证法可得矛盾；（3）由（2）知，因为且是的倍数，可得所有可能取值中的最大值.

（1）的值可取.

（2）由，对于任意的，有.

当时，，即，即.

则成立.

因为是的倍数，所以当时，有成立.

若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.

则,成立，因为是的倍数，故.

由,得.

因此当时，.

（3）由上问知，因为且是的倍数，

所以满足下面的不等式：

，.

则,, ,,,,,,

,,当时，这个数列符合条件.

故所求的最大值为85.