Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）[1，＋∞)；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求导数可得，当时函数在上单调递增；当时易得函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）知当时，不等式在，时恒成立，当时，不等式不成立，综合可得的范围；

（3）由（2）的单调性易得，进而可得，，，，将上述式子相加可得结论．

解：（1）求导数可得，

当时，，函数在上单调递增；

当时，由可得，

函数在上单调递增，在上单调递减；

（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，

，即不等式在时恒成立，

当时，函数在上单调递减，

存在使得，

即不等式不成立，

综上可知实数的取值范围为，；

（3）由（2）得当时，不等式在时恒成立，

即，，．

即，

，，，，

将上述式子相加可得

原不等式得证．