Question

已知圆C₁：x²+y²+4ax+4a²-4=0和圆C₂：x²+y²-2by+b²-1=0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则

1

a2

+

1

b2

的最小值为（　　）

• A、2
• B、4
• C、8
• D、9

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得4a²+b²=1，再利用“1”的代换，使用基本不等式求得

1

a2

+

1

b2

的最小值．

解答： 解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为 （x+2a）²+y²=4，x²+（y-b）²=1，
圆心分别为（-2a，0），（0，b），半径分别为2和1，故有

4a2+b2

=1，∴4a²+b²=1，
∴

1

a2

+

1

b2

=（

1

a2

+

1

b2

）（4a²+b²）=5+

b2

a2

+

4a2

b2

≥5+4=9，
当且仅当

b2

a2

=

4a2

b2

时，等号成立，
∴

1

a2

+

1

b2

的最小值为9．
故选：D．

点评：本题考查两圆的位置关系，两圆相内切的性质，圆的标准方程的特征，基本不等式的应用，得到4a²+b²=1是解题的关键和难点．