题目内容

15．（文）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（2）=7，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜3（x∈R），则不等式f（x）＜3x+1的解集为（　　）
A．（1，+∞）B．（-∞，-2）C．（-∞．-1）∪（1，+∞）D．（2，+∞）

分析 构造函数g（x）=f（x）-3x-1，g'（x）=f′（x）-3＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（2）=7，可求得g（2）=2，然后求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-3x-1，
∵f′（x）＜3（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-3＜0，
∴g（x）=f（x）-3x-1为减函数，
又f（2）=7，
∴g（2）=f（2）-6-1=0，
∴不等式f（x）＜x+1的解集?g（x）=f（x）-3x-1＜0=g（2）的解集，
即g（x）＜g（2），又g（x）=f（x）-3x-1为减函数，
∴x＞2，即x∈（2，+∞）．
故选：D．

点评 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．

练习册系列答案
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